INFOTEMANGGUNG.COM - Dalam artikel ini, Anda akan mempelajari contoh soal induksi Matematika kelas 11 beserta jawabannya yang berfokus pada pembuktian pernyataan dengan menggunakan metode induksi Matematika.
Tujuan dari artikel ini adalah untuk membantu siswa memahami konsep dasar dan penerapan induksi Matematika, serta memberikan panduan langkah demi langkah dalam menyelesaikan setiap soal.
Baca Juga: 25 Contoh Soal Tes Indomaret Untuk Membantu Persiapan Diri Mengikuti Seleksi Karyawan
Mari eksplorasi dan berlatih bersama-sama untuk memperkuat pemahaman Anda tentang metode induksi Matematika melalui contoh soal induksi Matematika kelas 11 beserta jawabannya.
Contoh Soal 1
Buktikan dengan menggunakan metode induksi Matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, pernyataan berikut benar:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2
Jawaban:
Langkah 1: Basis Induksi
Periksa pernyataan untuk n = 1:
1 = 1(1 + 1) / 2
1 = 1
Pernyataan benar untuk n = 1.
Langkah 2: Langkah Induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2
Langkah 3: Langkah Induksi Lanjutan
Buktikan pernyataan benar untuk n = k + 1:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) / 2
Anda tahu dari asumsi induksi (langkah 2) bahwa:
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2
Jadi, Anda dapat menggantikan bagian kiri pernyataan untuk n = k + 1:
k(k + 1) / 2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) / 2
Kemudian, Anda bisa menyederhanakan bagian kiri pernyataan:
[(k^2 + k) + 2(k + 1)] / 2 = (k^2 + 3k + 2) / 2
Akhirnya, Anda peroleh:
(k + 1)(k + 2) / 2 = (k + 1)(k + 2) / 2
Pernyataan benar untuk n = k + 1.
Karena pernyataan benar untuk n = 1 dan benar untuk n = k + 1 ketika benar untuk n = k, maka berdasarkan metode induksi Matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh Soal 2
Buktikan dengan menggunakan metode induksi Matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, pernyataan berikut benar:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
Baca Juga: 100 Contoh Soal Tes Bahasa Inggris BUMN Beserta Jawabannya PDF, Pasti Lolos Tes Online Tahap 2
Jawaban:
Langkah 1: Basis Induksi
Periksa pernyataan untuk n = 1:
1^2 = 1(1 + 1)(2 * 1 + 1) / 6
1 = 1(2)(3) / 6
1 = 1
Pernyataan benar untuk n = 1.
Langkah 2: Langkah Induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k + 1)(2k + 1) / 6
Langkah 3: Langkah Induksi Lanjutan
Buktikan pernyataan benar untuk n = k + 1:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] / 6
Anda tahu dari asumsi induksi (langkah 2) bahwa:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k + 1)(2k + 1) / 6
Jadi, Anda dapat menggantikan bagian kiri pernyataan untuk n = k + 1:
k(k + 1)(2k + 1) / 6 + (k + 1)^2 = (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] / 6
Kemudian, Anda bisa menyederhanakan bagian kiri pernyataan:
(k^3 + 3k^2 + 2k) / 6 + (k^2 + 2k + 1) = (k^3 + 6k^2 + 11k + 6) / 6
Akhirnya, Anda peroleh:
(k^3 + 3k^2 + 2k + 6k^2 + 12k + 6) / 6 = (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] / 6
(k^3 + 9k^2 + 14k + 6) / 6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) / 6
(k^3 + 9k^2 + 14k + 6) = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
Pernyataan benar untuk n = k + 1.
Karena pernyataan benar untuk n = 1 dan benar untuk n = k + 1 ketika benar untuk n = k, maka berdasarkan metode induksi Matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh Soal 3
Buktikan dengan menggunakan metode induksi Matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, pernyataan berikut benar:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
Jawaban:
Langkah 1: Basis Induksi
Periksa pernyataan untuk n = 1:
1 = 1^2
1 = 1
Pernyataan benar untuk n = 1.
Baca Juga: 50 Contoh Soal Pelajaran Bahasa Jepang Kelas 10 SMA/MA Semester 1 Tahun 2023
Langkah 2: Langkah Induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2
Langkah 3: Langkah Induksi Lanjutan
Buktikan pernyataan benar untuk n = k + 1:
1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2
Anda tahu dari asumsi induksi (langkah 2) bahwa:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2
Jadi, Anda dapat menggantikan bagian kiri pernyataan untuk n = k + 1:
k^2 + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2
k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2
Kemudian, Anda bisa menyederhanakan bagian kiri pernyataan:
(k + 1)^2 = (k + 1)^2
Pernyataan benar untuk n = k + 1.
Karena pernyataan benar untuk n = 1 dan benar untuk n = k + 1 ketika benar untuk n = k, maka berdasarkan metode induksi Matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Semoga contoh soal induksi Matematika kelas 11 beserta jawabannya ini membantu Anda lebih memahami dan berlatih menggunakan metode induksi Matematika. Selamat belajar!***
Dapatkan informasi terbaru terkait dunia pendidikan dengan bergabung di grup telegram kami. Mari bergabung di Grup Telegram dengan cara klik tombol dibawah ini:
Kamu juga bisa request kunci jawaban atau info lainnya dengan topik pendidikan.