Jelaskan Sistem Bilangan Real dan Buktikan Sifat-sifat Sederhana!

INFOTEMANGGUNG.COM - Teman-teman, kita akan menjawab pertanyaan: jelaskan sistem bilangan real dan buktikan sifat-sifat sederhana!

Sistem Bilangan Real: Pengertian dan Sifat-Sifat Sederhana

Sistem bilangan real adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang mencakup berbagai jenis bilangan yang kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari dan dalam berbagai bidang ilmu.

Baca Juga: Produsen ‘Maju Bersama’ dan Produsen ‘Sejahtera Utama’ adalah Dua Perusahaan yang Bergerak dalam Industri

Artikel jelaskan sistem bilangan real dan buktikan sifat-sifat sederhana! ini akan menjelaskan pengertian sistem bilangan real, jenis-jenis bilangan yang termasuk di dalamnya, serta membuktikan beberapa sifat sederhana dari bilangan real.

Soal:

Jelaskan sistem bilangan real dan buktikan sifat-sifat sederhana!

Jawaban:

Pengertian Sistem Bilangan Real

Bilangan real adalah kumpulan semua bilangan yang dapat ditempatkan pada garis bilangan kontinu tanpa celah. Sistem ini mencakup bilangan rasional (seperti bilangan bulat dan pecahan) dan bilangan irasional (bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, seperti
akar 2 dan phi.

Jenis-jenis Bilangan dalam Sistem Bilangan Real: ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,....

Bilangan Pecahan (Rational Numbers): Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat (a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0). Contoh: 1/2, 3/4

Baca Juga: Sebelum Menyusun Alat Evaluasi, Kita Perlu Merencanakannya Sehingga Alat Evaluasi yang Disusun Betul-Betul

Bilangan Irasional (Irrational Numbers): Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Contoh: ????, akar 2

Bilangan Nyata (Real Numbers): Gabungan dari bilangan rasional dan irasional. Contoh: 2, 3, 5

Sifat-Sifat Sederhana dari Bilangan Real

Sifat-sifat bilangan real melibatkan operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol). Berikut adalah beberapa sifat sederhana dari bilangan real beserta pembuktiannya:

1. Sifat Tertutup (Closure Property)

Penjumlahan: Jika a dan b adalah bilangan real, maka
a+b adalah bilangan real.

Perkalian: Jika a dan b adalah bilangan real, maka
a⋅. badalah bilangan real.

Bukti:
Misalkan
a dan b adalah bilangan real. Karena operasi penjumlahan dan perkalian antara dua bilangan real selalu menghasilkan bilangan real lain, sifat tertutup ini berlaku. Sebagai contoh:

Untuk penjumlahan: Jika

a=2 dan b=3, maka a+b=5, dan 5 adalah bilangan real.

Untuk perkalian: Jika
a=2 dan b=3, maka
a⋅b=6, dan 6 adalah bilangan real.

2. Sifat Asosiatif (Associative Property)

Penjumlahan:
(a+b)+c=a+(b+c)

Perkalian:
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

Bukti:
Untuk penjumlahan:

(a+b)+c=a+(b+c)

a=1, b=2, dan c=3:

(1+2)+3=3+3=6

1+(2+3)=1+5=6

Jadi,
(1+2)+3=1+(2+3).

Untuk perkalian:
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

Misalkan
a=1, b = 2, c = 3
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

Baca Juga: Menurut Anda, Apa yang Dimaksud dengan Hukum Adat Sebagai Pencerminan Jiwa Masyarakat Indonesia ? Jelaskan!​

4. Sifat Distributif (Distributive Property)
Distributif Terhadap Penjumlahan: a (b + c) = ab + ac

Kesimpulan
Sistem bilangan real mencakup berbagai jenis bilangan yang kita gunakan sehari-hari, termasuk bilangan bulat, pecahan, dan bilangan irasional. Bilangan real memiliki beberapa sifat dasar yang penting, seperti sifat tertutup, asosiatif, komutatif, dan distributif.

Memahami sifat-sifat ini adalah kunci dalam berbagai aplikasi matematika, dari aljabar dasar hingga analisis yang lebih kompleks. Dengan bukti-bukti sederhana di atas, kita dapat melihat bagaimana sifat-sifat ini berlaku dan mendukung struktur matematis dari sistem bilangan real.

Demikian jawaban soal jelaskan sistem bilangan real dan buktikan sifat-sifat sederhana! Mudah-mudahan bermanfaat.***

Disclaimer:

Jawaban yang tertera di atas sifatnya tidak mutlak.
Jawaban tersebut bersifat terbuka sehingga bisa dieksplorasi lagi lebih lanjut.