INFOTEMANGGUNG.COM - Para pelajar SMA yang berkesempatan mewakili sekolah kalian pada OSN MAtematika tingkat provinsi, berikut adalah kumpulan contoh soal olimpiade Matematika jenjang SMA. Temukan 26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan kunci jawaban untuk OSN tingkat nasional.
26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan kunci jawaban tingkat nasioanal bisa dipakai untuk persiapan pelajar SMA menjelang Olimpiade Matematika atau OSN Matematika SMA tingkat nasional 2023.
Olimpiade Sains Nasional, sempat berubah nama menjadi Kompetisi Sains Nasional yang kemudian kembali lagi dengan sebutan lamanya, yakni Olimpiade Sains Nasional, menjadi ajang kompetisi tahunan dalam bidang sains bagi para siswa SD, SMP, dan SMA serta yang sederajat di seluruh Indonesia.
Matematika tingkat SMA tingkat kesulitannya termasuk tinggi dan harus dihadapi dengan banyak berlatih, maka soal-soal di bawah ini dapat dipakai berlatih sebaik-baiknya. Mari kita mulai.
26 Contoh Soal Olimpiade Matematika SMA dengan Kunci Jawaban Tingkat Nasional
Soal 1. Perhatikan persamaan berikut ini : x2+2y2+½ ≤ x (2y+1) jika x dan y adalah bilangan real, maka nilai x+y adalah ...
A. 1
B. 2
C. 2,5
D.3,5
E. 4
Jawaban : C
Soal 2. Misalkan akar polinomial P(x) = x3+ax2+bx+c adalah cos (2π/7), cos (4π/7), dan cos (6 π/7) dengan sudut dalam radian. Berapa nilai a x b x c ?
A. -3/49
B. -1/28
C. 3 √7/64
D. 1/32
E. 1/28
Jawaban :D
Soal 3. Berapa banyak solusi yang persamaannya sin (π/2 cos x) = cos (π/2 sin x) miliki dalam interval tertutup [0, π] ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban : C
Soal 4. Bilangan n terbesar sehingga 8^n membagi 44^44 adalah
a. 8
b. 22
c. 29
d. 44
e. 88
Jawaban: C
Pembahasan: 44^44 = 4^44 x 11^4 = 16^22 x 11^44 = 8^22 x 2^22 x 11^44 = 8^22 x (2^3)^7 x 2 x 11^44 = 8^29 x 2 x 11^44.
Karena 8 tidak membagi (2x11^44) maka: maksimal: 29
Soal 5. Misalkan (23)x = 4096 dan y = x3. Berapa digit satuan dari bilangan bulat yang sama dengan 3y?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Jawaban: A
Soal 6. Semua akar polinomial 26-10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz2+16 adalah bilangan bulat positif, mungkin diulang. Berapa nilai B ?
A. -88
B. -80
C. -64
D. -41
E. -40
Jawaban : A
Soal 7
Pernyataan manakah yang benar?
a. Jika x <0 maka x^2 > x
b. Jika x^2 > 0 maka x > 0
c. Jika x^2 > x maka x > 0
d. Jika x^2 > x maka x < 0
e. Jika x < 1 maka x^2 < x
Jawaban: A
Dasar teori:
Jika x < 0 maka x^2 . x
Jika 0 < x < 1 maka x^2 < x
Jika x . 1 maka x^2 > x
Jawaban a. benar
b. Salah karena jika x^2 > 0 dimungkinkan x < 0 atau x>0
c. Salah, karena x^2 > x maka x (x-1) > 0 sehingga x < 0 atau x> 1
d. Salah karena jika x^2 > x dimungkinkan x < 0 atau x > 1
e. Salah karena untuk x<0 maka x^2 > x
Jadi pernyataan yang benar adalah: jika x < 0 maka x^2 > x
Soal 8. Dayat selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Suni:
"Paling tidak salah satu diantara kita tidak pernah berbohong." Dari informasi ini kita merasa pasti bahwa ...
a. Suni selalu berbohong
b. Suni sesekali berbohong
c. Suni selalu berkata benar
d. Suni sesekali berkata benar
e. Suni tidak pernah berkata apa pun.
Jawaban: B
Ingkaran dari: Paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong adalah:
kedua-duanya pernah berbohong.
Soal 9. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, selain itu p adalah bilangan prima ≥ 5 sehingga memenuhi persamaan berikut m (4m2+m+12) = 3 (pn-1) maka m+n+p adalah ...
a. 20
b. 21
c. 23
d. 26
e. 45
Jawaban: C
Soal 10. Dalam diagram, ABCDEFGH adalah prisma persegi panjang. (Simpul H tersembunyi dalam tampilan ini). Jika
a. 77,3°
b. 65,3°
c. 62,3°
d. 56,3°
e. 50,3°
Jawaban: A
Soal 11. Misalkan ABC adalah segitiga dimana AB = AC. Misalkan Orthocenter segitiga terletak di atas lingkaran, maka rasio AB/BC ...
a. ½
b. ⅔
c. ⅕
d. ¾
e. ⅖
Jawaban: D
Soal 12. Untuk bilangan asli n apa pun yang dinyatakan dalam basis 10, misalkan S(n) menunjukkan jumlah semua digit n. Maka ada berapa bilangan asli n sehingga n = 2 S(n)2 ?
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Jawaban: B
Soal 13. Misalkan X = {-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5} dan S = {(a,b) ϵ X x X : x2 +ax+b dan x3+bx+a setidaknya memiliki nol nyata yang sama}. Berapa banyak elemen yang ada di S?
a. 16
b. 20
c. 24
d. 26
e. 29
Jawaban: C
Soal 14. Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y = x^2 + a tepat di satu titik?
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 11
Jawaban: C
Pembahasan:
Karena 6x = x^2 + a maka x^2 - 6 x + a = 0
Diskr = 6^2 - 4(1)(a) = 36 - 4a
Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x^2 + a di satu titik adalah Diskriminan = 0
36 - 4a = 0
jadi a = 9
Soal 15: Sebuah rumah memiliki bentuk persegi panjang dengan panjang 20 meter dan lebar 15 meter. Pada tiap sudut rumah ditanam sebuah pohon.
Jika jarak antara dua pohon yang terletak di sisi yang berbeda sama dengan panjang diagonal rumah, berapa luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon?
a. 112.5 m²
b. 125.5 m²
c. 100.5 m²
d. 120.5 m²
e. 123.5 m²
Jawaban: A
Pembahasan:
Jarak antara dua pohon yang terletak di sisi yang berbeda sama dengan panjang diagonal rumah, yaitu √(20^2 + 15^2) = 25 meter.
Jadi, setiap pohon ditanam pada jarak 25 meter dari pohon-pohon yang bersebrangan dengan diagonal rumah. Oleh karena itu, jika kita gambar garis yang menghubungkan keempat pohon tersebut, kita akan mendapatkan bentuk segitiga dengan sisi-sisi sepanjang 25 meter.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas segitiga tersebut, yaitu:
luas segitiga = 1/2 x alas x tinggi = 1/2 x 25 x 15 = 187.5 m²
Namun, perlu diperhatikan bahwa daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon hanyalah daerah persegi panjang di dalam rumah yang tidak tercakup oleh segitiga tersebut. Oleh karena itu, luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon adalah:
luas daerah kosong = panjang x lebar - luas segitiga = 20 x 15 - 187.5 = 112.5 m²
Jadi, luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon adalah 112.5 m².
Soal 16:
Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan CA = 7 cm. Dua titik D dan E pada sisi AB dipilih sehingga AD/DB = BE/EA = 2/3. Tentukan luas dari segitiga CDE.
Pembahasan:
Kita dapat menentukan panjang AD dan DB dengan menggunakan rasio AD/DB = 2/3. Misalnya, jika kita asumsikan panjang AB = 1, maka AD = 2/5 dan DB = 3/5. Demikian juga, kita dapat menentukan panjang BE dan EA dengan rasio BE/EA = 2/3. Jadi, jika kita asumsikan panjang AB = 1, maka BE = 2/5 dan EA = 3/5.
Kita dapat menghitung panjang CD dan DE dengan menggunakan panjang AD, DB, BE, dan EA. Misalnya, CD = BC x AD / (AD + DB) = 6 x (2/5) / (2/5 + 3/5) = 24/25 dan DE = BC x BE / (BE + EA) = 6 x (2/5) / (2/5 + 3/5) = 24/25. Oleh karena itu, panjang CE adalah 6 - CD - DE = 6 - 24/25 - 24/25 = 27/25.
Dengan menggunakan rumus Heron, kita dapat menghitung luas segitiga ABC, yaitu:
s = (AB + BC + CA)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9
luas ABC = √(s(s-AB)(s-BC)(s-CA)) = √(9 x 4 x 3 x 2) = 6√6
Selanjutnya, kita dapat menggunakan luas segitiga ABC untuk menghitung luas segitiga CDE. Kita dapat membagi segitiga CDE menjadi dua segitiga yang lebih kecil, yaitu segitiga CDB dan segitiga CEA. Dengan menggunakan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas kedua segitiga tersebut:
luas CDB = 1/2 x CD x DB = 1/2 x (24/25) x (3/5) = 36/125
luas CEA = 1/2 x CE x EA = 1/2 x (27/25) x (3/5) = 81/250
Jadi, luas segitiga CDE adalah:
luas CDE = luas ABC - luas CDB - luas CEA = 6√6 - 36/125 - 81/250 = 343/1000
Jadi, luas segitiga CDE adalah 343/1000 cm².
Soal 17:
Dua garis melintang pada sebuah lingkaran berpotongan pada titik P dan Q. Diketahui panjang garis AB dan garis CD yang memotong garis melintang tersebut. Jika AB = 8 dan CD = 6, dan jarak antara garis melintang adalah 4, maka panjang PQ adalah …
a. 13
b. 12
c. 11
d. 10
e. 9
Jawaban: C
Pembahasan:
Jarak antara garis melintang sama dengan jarak titik P dan Q dari pusat lingkaran. Jadi, jarak PQ = 4.
Panjang PA dan PB sama dengan setengah panjang garis AB, yaitu 4. Demikian pula, panjang QC dan QD sama dengan setengah panjang garis CD, yaitu 3.
Panjang PC atau QA sama dengan selisih jari-jari lingkaran dengan panjang AP, yaitu 1.5. Demikian pula, panjang QD atau PB sama dengan selisih jari-jari lingkaran dengan panjang BQ atau QD, yaitu 2.5.
Maka, panjang PQ adalah:
PQ = PA + AQ = PC + CQ + BQ + QB
= 4 + 1.5 + 2.5 + 3
= 11
Jadi, panjang PQ adalah 11.
Soal 18:
Bilangan (2^4)^8 / (4^8)^2 sama dengan ....
a. 1/2
b. 1/4
c. 1
d. 2
e. 8
Jawaban: C
Pembahasan:
(2^4)^8 : (4^8)^2 = 2^32 : 4^16 = 1
Soal 19:
Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AB = 10 dan AC = 6. Diberikan sudut C = 60 derajat. Titik D merupakan titik di sepanjang BC yang membagi BC menjadi dua bagian yang sama panjangnya. Jika AD = 2√7, maka panjang BC adalah …
a. 2√5
b. 4√5
c. 3√5
d. 5√5
e. √5
Jawaban: B
Pembahasan:
Pertama-tama, kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk menghitung panjang BC. Kita tahu bahwa sudut C = 60 derajat, sehingga:
BC² = AB² + AC² - 2AB × AC × cos(C)
BC² = 10² + 6² - 2 × 10 × 6 × cos(60)
BC² = 100 + 36 - 60
BC² = 76
BC = 2√19
Kita tahu bahwa D membagi BC menjadi dua bagian yang sama panjangnya. Jadi, BD = DC = BC/2 = √19. Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ADC, kita dapat menghitung panjang AD:
AD² = AC² + CD²
AD² = 6² + (√19)²
AD² = 55
AD = √55
Maka, √55 = 2√7, sehingga BC = 2√19 = 4√5.
Jadi, panjang BC adalah 4√5.
Soal 20
Dua pemain, A dan B, secara bergantian melempar koin yang adil. Pemain yang mendapat gambar (muka) lebih dulu menang. Jika A melempar pertama, tentukan peluang A menang pada lemparan keempat.
a. 5/16
b. 4/16
c. 6/16
d. 7/16
e. 8/16
Jawaban: A
Pembahasan:
Kita bisa menentukan hasil dari setiap kemungkinan dalam empat lemparan koin:
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
Jadi, peluang A menang pada lemparan keempat adalah jumlah peluang untuk kasus 1, 2, 3, 6, dan 7, yaitu:
1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 5/16.
Soal Esai
Soal 21:
Sebuah perusahaan memiliki 500 karyawan, yang terdiri dari 300 pria dan 200 wanita. Dari 300 pria, 150 memiliki mobil dan 150 yang lain tidak memiliki mobil. Dari 200 wanita, 100 memiliki mobil dan 100 yang lain tidak memiliki mobil.
Jika seorang karyawan dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa karyawan tersebut:
Pria dan memiliki mobil
Wanita dan tidak memiliki mobil
Tidak memiliki mobil
Jawaban:
Peluang seorang karyawan adalah pria dan memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah pria dengan mobil / jumlah total karyawan
Peluang = 150 / 500
Peluang = 0,3 atau 30%
Jadi, peluang seorang karyawan adalah pria dan memiliki mobil adalah 30%.
Peluang seorang karyawan adalah wanita dan tidak memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah wanita tanpa mobil / jumlah total karyawan
Peluang = 100 / 500
Peluang = 0,2 atau 20%
Jadi, peluang seorang karyawan adalah wanita dan tidak memiliki mobil adalah 20%.
Peluang seorang karyawan tidak memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah karyawan tanpa mobil / jumlah total karyawan
Peluang = (150 + 100) / 500
Peluang = 0,5 atau 50%
Jadi, peluang seorang karyawan tidak memiliki mobil adalah 50%.
Soal 22:
Tentukan jumlah dari 10 suku pertama deret aritmatika berikut ini: 2, 5, 8, 11, …
Diketahui bahwa deret aritmatika ini memiliki suku pertama (a₁) = 2 dan beda (d) = 3. Untuk mencari jumlah 10 suku pertama (S10), kita dapat menggunakan rumus:
S10 = (n/2) x [2a₁ + (n-1)d]
Di mana n adalah jumlah suku yang ingin kita hitung, yaitu 10.
Substitusikan nilai a₁ dan d ke dalam rumus tersebut:
S10 = (10/2) x [2(2) + (10-1)(3)]
S10 = 5 x (4 + 27)
S10 = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut adalah 155.
Soal 23:
Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut:
x + 2y + z = 5
2x - y - z = -3
3x + y - z = 1
Jawaban:
Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan menggunakan metode eliminasi atau metode substitusi. Berikut ini adalah metode substitusi:
Baca Juga: 20 Materi OSN IPS SMP 2023, Bocoran Kisi-Kisi Soal dan Kunci Jawaban Lolos Olimpiade Sains Nasional
Pertama-tama, kita cari nilai y dari persamaan pertama, dengan mengurangi x dan z dari kedua ruas:
y = 5 - x - z
Kemudian, kita substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan kedua dan ketiga, sehingga kita hanya memiliki dua variabel:
2x - (5 - x - z) - z = -3
3x + (5 - x - z) - z = 1
Simplifikasi persamaan tersebut:
3x - 2z = 2
2x - 2z = -8
Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan metode eliminasi, yaitu dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan kemudian menguranginya dari persamaan kedua:
4x - 4z = -16
-3x + 2z = 2
x = -2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan di atas untuk mencari nilai z:
3(-2) - 2z = 2
-6 - 2z = 2
-2z = 8
z = -4
Akhirnya, substitusikan nilai x dan z ke dalam persamaan y = 5 - x - z untuk mencari nilai y:
y = 5 - (-2) - (-4) = 7
Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = -2, y = 7, dan z = -4.
Soal 24:
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 3 dan beda 4. Jika jumlah suku deret tersebut adalah 20, maka suku keberapa dari deret tersebut memiliki nilai 75?
Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan rumus untuk suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1)d
dimana an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, d adalah beda, dan n adalah indeks suku.
Dalam masalah ini, a1 = 3 dan d = 4, sehingga kita dapat menuliskan rumus umum untuk suku ke-n:
an = 3 + (n-1)4
an = 4n - 1
Kita juga diberi informasi bahwa jumlah suku deret adalah 20, sehingga kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah n suku pertama dari deret aritmatika:
Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)
Kita ingin mencari suku keberapa dari deret yang memiliki nilai 75. Dengan menggunakan rumus an yang telah ditemukan, kita dapat menyelesaikan persamaan berikut untuk mencari nilai n:
75 = 4n - 1
76 = 4n
n = 19
Jadi, suku ke-19 dari deret tersebut memiliki nilai 75.
Soal 25. Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan beda 6. Tentukan jumlah dari seluruh suku ganjil dari deret tersebut hingga suku ke-20.
Pembahasan:
Pertama-tama, kita bisa mencari suku ke-n dari deret aritmatika dengan rumus:
an = a1 + (n - 1)d
Dalam kasus ini, a1 = 10 dan d = 6, sehingga:
an = 10 + (n - 1)6
an = 6n + 4
Selanjutnya, kita ingin mencari jumlah seluruh suku ganjil dari deret tersebut. Kita dapat mengekspresikan suku ganjil dengan rumus:
an = a1 + (n - 1)d, dengan n ganjil
Karena n harus ganjil, kita bisa menulisnya sebagai 2m + 1, dengan m bilangan bulat. Maka, suku ke-n dapat ditulis sebagai:
an = 10 + (2m + 1 - 1)6
an = 12m + 10
Kita ingin mencari jumlah seluruh suku ganjil hingga suku ke-20, yang berarti kita perlu menjumlahkan suku-suku ganjil dari suku pertama hingga suku ke-20:
S = a1 + a3 + ... + a19
Dalam hal ini, a1 = 10, dan kita perlu mencari nilai a3, a5, ..., a19. Kita dapat menuliskan suku-suku tersebut dalam bentuk 12m + 10 dengan mengganti n dengan 2m + 1:
a3 = 12(1) + 10 = 22
a5 = 12(2) + 10 = 34
a7 = 12(3) + 10 = 46
a9 = 12(4) + 10 = 58
a11 = 12(5) + 10 = 70
a13 = 12(6) + 10 = 82
a15 = 12(7) + 10 = 94
a17 = 12(8) + 10 = 106
a19 = 12(9) + 10 = 118
Kemudian, kita dapat menjumlahkan suku-suku tersebut:
S = 10 + 22 + 34 + 46 + 58 + 70 + 82 + 94 + 106 + 118
S = 620
Jadi, jumlah seluruh suku ganjil dari deret tersebut hingga suku ke-20 adalah 620.
Soal 26. Digit 1,9,9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1+9+9=8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai digit 27 terjadi di antara tahun ...
Jawaban:
Misal bilangan selanjutnya adalah ABCD, maka A = 2 karena 1+9+9+9 tidak sama dengan 27.
B+C+D = 25
Karena diinginkan B sekecil-kecilnya, maka (C+D) harus sebesar-besarnya dan karena B lebih kecil sama dengan 9, C lebih kecil smaa dengan 9 dan D lebih kecil sama dengan 9 maka (C+D) maks = 18 sehingga B minimal = 25 - 18 = 7.
Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 adalah 2799.
Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 terjadi di antara tahun 2701 dan 2900.
Demikianlah 26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan jawaban dan pembahasannya lengkap, untuk OSN tingkat nasional. Mudah-mudahan bermanfaat.***
Disclaimer:
-Artikel ini dapat digunakan sebagai referensi belajar bagi siswa SMA.
-Kebenaran kunci jawaban ini bersifat tidak mutlak tetapi sifatnya terbuka sehingga bisa dieksplorasi lagi lebih lanjut.
INFOTEMANGGUNG.COM - Para pelajar SMA yang berkesempatan mewakili sekolah kalian pada OSN MAtematika tingkat provinsi, berikut adalah kumpulan contoh soal olimpiade Matematika jenjang SMA. Temukan 26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan kunci jawaban untuk OSN tingkat nasional.
26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan kunci jawaban tingkat nasioanal bisa dipakai untuk persiapan pelajar SMA menjelang Olimpiade Matematika atau OSN Matematika SMA tingkat nasional 2023.
Olimpiade Sains Nasional, sempat berubah nama menjadi Kompetisi Sains Nasional yang kemudian kembali lagi dengan sebutan lamanya, yakni Olimpiade Sains Nasional, menjadi ajang kompetisi tahunan dalam bidang sains bagi para siswa SD, SMP, dan SMA serta yang sederajat di seluruh Indonesia.
Matematika tingkat SMA tingkat kesulitannya termasuk tinggi dan harus dihadapi dengan banyak berlatih, maka soal-soal di bawah ini dapat dipakai berlatih sebaik-baiknya. Mari kita mulai.
26 Contoh Soal Olimpiade Matematika SMA dengan Kunci Jawaban Tingkat Nasional
Soal 1. Perhatikan persamaan berikut ini : x2+2y2+½ ≤ x (2y+1) jika x dan y adalah bilangan real, maka nilai x+y adalah ...
A. 1
B. 2
C. 2,5
D.3,5
E. 4
Jawaban : C
Soal 2. Misalkan akar polinomial P(x) = x3+ax2+bx+c adalah cos (2π/7), cos (4π/7), dan cos (6 π/7) dengan sudut dalam radian. Berapa nilai a x b x c ?
A. -3/49
B. -1/28
C. 3 √7/64
D. 1/32
E. 1/28
Jawaban :D
Soal 3. Berapa banyak solusi yang persamaannya sin (π/2 cos x) = cos (π/2 sin x) miliki dalam interval tertutup [0, π] ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban : C
Soal 4. Bilangan n terbesar sehingga 8^n membagi 44^44 adalah
a. 8
b. 22
c. 29
d. 44
e. 88
Jawaban: C
Pembahasan: 44^44 = 4^44 x 11^4 = 16^22 x 11^44 = 8^22 x 2^22 x 11^44 = 8^22 x (2^3)^7 x 2 x 11^44 = 8^29 x 2 x 11^44.
Karena 8 tidak membagi (2x11^44) maka: maksimal: 29
Soal 5. Misalkan (23)x = 4096 dan y = x3. Berapa digit satuan dari bilangan bulat yang sama dengan 3y?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Jawaban : A
Soal 6. Semua akar polinomial 26-10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz2+16 adalah bilangan bulat positif, mungkin diulang. Berapa nilai B ?
A. -88
B. -80
C. -64
D. -41
E. -40
Jawaban : A
Soal 7
Pernyataan manakah yang benar?
a. Jika x <0 maka x^2 > x
b. Jika x^2 > 0 maka x > 0
c. Jika x^2 > x maka x > 0
d. Jika x^2 > x maka x < 0
e. Jika x < 1 maka x^2 < x
Jawaban: A
Dasar teori:
Jika x < 0 maka x^2 . x
Jika 0 < x < 1 maka x^2 < x
Jika x . 1 maka x^2 > x
Jawaban a. benar
b. Salah karena jika x^2 > 0 dimungkinkan x < 0 atau x>0
c. Salah, karena x^2 > x maka x (x-1) > 0 sehingga x < 0 atau x> 1
d. Salah karena jika x^2 > x dimungkinkan x < 0 atau x > 1
e. Salah karena untuk x<0 maka x^2 > x
Jadi pernyataan yang benar adalah: jika x < 0 maka x^2 > x
Soal 8. Dayat selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Suni:
"Paling tidak salah satu diantara kita tidak pernah berbohong." Dari informasi ini kita merasa pasti bahwa ...
a. Suni selalu berbohong
b. Suni sesekali berbohong
c. Suni selalu berkata benar
d. Suni sesekali berkata benar
e. Suni tidak pernah berkata apa pun.
Jawaban: B
Ingkaran dari: Paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong adalah:
kedua-duanya pernah berbohong.
Soal 9. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, selain itu p adalah bilangan prima ≥ 5 sehingga memenuhi persamaan berikut m (4m2+m+12) = 3 (pn-1) maka m+n+p adalah ...
a. 20
b. 21
c. 23
d. 26
e. 45
Jawaban: C
Soal 10. Dalam diagram, ABCDEFGH adalah prisma persegi panjang. (Simpul H tersembunyi dalam tampilan ini). Jika
a. 77,3°
b. 65,3°
c. 62,3°
d. 56,3°
e. 50,3°
Jawaban: A
Soal 11. Misalkan ABC adalah segitiga dimana AB = AC. Misalkan Orthocenter segitiga terletak di atas lingkaran, maka rasio AB/BC ...
a. ½
b. ⅔
c. ⅕
d. ¾
e. ⅖
Jawaban: D
Soal 12. Untuk bilangan asli n apa pun yang dinyatakan dalam basis 10, misalkan S(n) menunjukkan jumlah semua digit n. Maka ada berapa bilangan asli n sehingga n = 2 S(n)2 ?
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Jawaban: B
Soal 13. Misalkan X = {-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5} dan S = {(a,b) ϵ X x X : x2 +ax+b dan x3+bx+a setidaknya memiliki nol nyata yang sama}. Berapa banyak elemen yang ada di S?
a. 16
b. 20
c. 24
d. 26
e. 29
Jawaban: C
Soal 14. Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y = x^2 + a tepat di satu titik?
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 11
Jawaban: C
Pembahasan:
Karena 6x = x^2 + a maka x^2 - 6 x + a = 0
Diskr = 6^2 - 4(1)(a) = 36 - 4a
Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x^2 + a di satu titik adalah Diskriminan = 0
36 - 4a = 0
jadi a = 9
Soal 15: Sebuah rumah memiliki bentuk persegi panjang dengan panjang 20 meter dan lebar 15 meter. Pada tiap sudut rumah ditanam sebuah pohon.
Jika jarak antara dua pohon yang terletak di sisi yang berbeda sama dengan panjang diagonal rumah, berapa luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon?
a. 112.5 m²
b. 125.5 m²
c. 100.5 m²
d. 120.5 m²
e. 123.5 m²
Jawaban: A
Pembahasan:
Jarak antara dua pohon yang terletak di sisi yang berbeda sama dengan panjang diagonal rumah, yaitu √(20^2 + 15^2) = 25 meter.
Jadi, setiap pohon ditanam pada jarak 25 meter dari pohon-pohon yang bersebrangan dengan diagonal rumah. Oleh karena itu, jika kita gambar garis yang menghubungkan keempat pohon tersebut, kita akan mendapatkan bentuk segitiga dengan sisi-sisi sepanjang 25 meter.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas segitiga tersebut, yaitu:
luas segitiga = 1/2 x alas x tinggi = 1/2 x 25 x 15 = 187.5 m²
Namun, perlu diperhatikan bahwa daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon hanyalah daerah persegi panjang di dalam rumah yang tidak tercakup oleh segitiga tersebut. Oleh karena itu, luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon adalah:
luas daerah kosong = panjang x lebar - luas segitiga = 20 x 15 - 187.5 = 112.5 m²
Jadi, luas daerah yang tidak tertutup oleh rumput dan pohon adalah 112.5 m².
Soal 16:
Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan CA = 7 cm. Dua titik D dan E pada sisi AB dipilih sehingga AD/DB = BE/EA = 2/3. Tentukan luas dari segitiga CDE.
Pembahasan:
Kita dapat menentukan panjang AD dan DB dengan menggunakan rasio AD/DB = 2/3. Misalnya, jika kita asumsikan panjang AB = 1, maka AD = 2/5 dan DB = 3/5. Demikian juga, kita dapat menentukan panjang BE dan EA dengan rasio BE/EA = 2/3. Jadi, jika kita asumsikan panjang AB = 1, maka BE = 2/5 dan EA = 3/5.
Kita dapat menghitung panjang CD dan DE dengan menggunakan panjang AD, DB, BE, dan EA. Misalnya, CD = BC x AD / (AD + DB) = 6 x (2/5) / (2/5 + 3/5) = 24/25 dan DE = BC x BE / (BE + EA) = 6 x (2/5) / (2/5 + 3/5) = 24/25. Oleh karena itu, panjang CE adalah 6 - CD - DE = 6 - 24/25 - 24/25 = 27/25.
Dengan menggunakan rumus Heron, kita dapat menghitung luas segitiga ABC, yaitu:
s = (AB + BC + CA)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9
luas ABC = √(s(s-AB)(s-BC)(s-CA)) = √(9 x 4 x 3 x 2) = 6√6
Selanjutnya, kita dapat menggunakan luas segitiga ABC untuk menghitung luas segitiga CDE. Kita dapat membagi segitiga CDE menjadi dua segitiga yang lebih kecil, yaitu segitiga CDB dan segitiga CEA. Dengan menggunakan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas kedua segitiga tersebut:
luas CDB = 1/2 x CD x DB = 1/2 x (24/25) x (3/5) = 36/125
luas CEA = 1/2 x CE x EA = 1/2 x (27/25) x (3/5) = 81/250
Jadi, luas segitiga CDE adalah:
luas CDE = luas ABC - luas CDB - luas CEA = 6√6 - 36/125 - 81/250 = 343/1000
Jadi, luas segitiga CDE adalah 343/1000 cm².
Soal 17:
Dua garis melintang pada sebuah lingkaran berpotongan pada titik P dan Q. Diketahui panjang garis AB dan garis CD yang memotong garis melintang tersebut. Jika AB = 8 dan CD = 6, dan jarak antara garis melintang adalah 4, maka panjang PQ adalah …
a. 13
b. 12
c. 11
d. 10
e. 9
Jawaban: C
Pembahasan:
Jarak antara garis melintang sama dengan jarak titik P dan Q dari pusat lingkaran. Jadi, jarak PQ = 4.
Panjang PA dan PB sama dengan setengah panjang garis AB, yaitu 4. Demikian pula, panjang QC dan QD sama dengan setengah panjang garis CD, yaitu 3.
Panjang PC atau QA sama dengan selisih jari-jari lingkaran dengan panjang AP, yaitu 1.5. Demikian pula, panjang QD atau PB sama dengan selisih jari-jari lingkaran dengan panjang BQ atau QD, yaitu 2.5.
Maka, panjang PQ adalah:
PQ = PA + AQ = PC + CQ + BQ + QB
= 4 + 1.5 + 2.5 + 3
= 11
Jadi, panjang PQ adalah 11.
Soal 18:
Bilangan (2^4)^8 / (4^8)^2 sama dengan ....
a. 1/2
b. 1/4
c. 1
d. 2
e. 8
Jawaban: C
Pembahasan:
(2^4)^8 : (4^8)^2 = 2^32 : 4^16 = 1
Soal 19:
Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AB = 10 dan AC = 6. Diberikan sudut C = 60 derajat. Titik D merupakan titik di sepanjang BC yang membagi BC menjadi dua bagian yang sama panjangnya. Jika AD = 2√7, maka panjang BC adalah …
a. 2√5
b. 4√5
c. 3√5
d. 5√5
e. √5
Jawaban: B
Pembahasan:
Pertama-tama, kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk menghitung panjang BC. Kita tahu bahwa sudut C = 60 derajat, sehingga:
BC² = AB² + AC² - 2AB × AC × cos(C)
BC² = 10² + 6² - 2 × 10 × 6 × cos(60)
BC² = 100 + 36 - 60
BC² = 76
BC = 2√19
Kita tahu bahwa D membagi BC menjadi dua bagian yang sama panjangnya. Jadi, BD = DC = BC/2 = √19. Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ADC, kita dapat menghitung panjang AD:
AD² = AC² + CD²
AD² = 6² + (√19)²
AD² = 55
AD = √55
Maka, √55 = 2√7, sehingga BC = 2√19 = 4√5.
Jadi, panjang BC adalah 4√5.
Soal 20
Dua pemain, A dan B, secara bergantian melempar koin yang adil. Pemain yang mendapat gambar (muka) lebih dulu menang. Jika A melempar pertama, tentukan peluang A menang pada lemparan keempat.
a. 5/16
b. 4/16
c. 6/16
d. 7/16
e. 8/16
Jawaban: A
Pembahasan:
Kita bisa menentukan hasil dari setiap kemungkinan dalam empat lemparan koin:
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, B memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, A memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan A memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
A memenangkan lemparan pertama, A memenangkan lemparan kedua, B memenangkan lemparan ketiga, dan B memenangkan lemparan keempat.
Peluangnya adalah (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16.
Jadi, peluang A menang pada lemparan keempat adalah jumlah peluang untuk kasus 1, 2, 3, 6, dan 7, yaitu:
1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 5/16.
Soal Esai
Soal 21:
Sebuah perusahaan memiliki 500 karyawan, yang terdiri dari 300 pria dan 200 wanita. Dari 300 pria, 150 memiliki mobil dan 150 yang lain tidak memiliki mobil. Dari 200 wanita, 100 memiliki mobil dan 100 yang lain tidak memiliki mobil.
Jika seorang karyawan dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa karyawan tersebut:
Pria dan memiliki mobil
Wanita dan tidak memiliki mobil
Tidak memiliki mobil
Jawaban:
Peluang seorang karyawan adalah pria dan memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah pria dengan mobil / jumlah total karyawan
Peluang = 150 / 500
Peluang = 0,3 atau 30%
Jadi, peluang seorang karyawan adalah pria dan memiliki mobil adalah 30%.
Peluang seorang karyawan adalah wanita dan tidak memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah wanita tanpa mobil / jumlah total karyawan
Peluang = 100 / 500
Peluang = 0,2 atau 20%
Jadi, peluang seorang karyawan adalah wanita dan tidak memiliki mobil adalah 20%.
Peluang seorang karyawan tidak memiliki mobil dapat dihitung sebagai berikut:
Peluang = jumlah karyawan tanpa mobil / jumlah total karyawan
Peluang = (150 + 100) / 500
Peluang = 0,5 atau 50%
Jadi, peluang seorang karyawan tidak memiliki mobil adalah 50%.
Soal 22:
Tentukan jumlah dari 10 suku pertama deret aritmatika berikut ini: 2, 5, 8, 11, …
Diketahui bahwa deret aritmatika ini memiliki suku pertama (a₁) = 2 dan beda (d) = 3. Untuk mencari jumlah 10 suku pertama (S10), kita dapat menggunakan rumus:
S10 = (n/2) x [2a₁ + (n-1)d]
Di mana n adalah jumlah suku yang ingin kita hitung, yaitu 10.
Substitusikan nilai a₁ dan d ke dalam rumus tersebut:
S10 = (10/2) x [2(2) + (10-1)(3)]
S10 = 5 x (4 + 27)
S10 = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut adalah 155.
Soal 23:
Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut:
x + 2y + z = 5
2x - y - z = -3
3x + y - z = 1
Jawaban:
Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan menggunakan metode eliminasi atau metode substitusi. Berikut ini adalah metode substitusi:
Baca Juga: 20 Materi OSN IPS SMP 2023, Bocoran Kisi-Kisi Soal dan Kunci Jawaban Lolos Olimpiade Sains Nasional
Pertama-tama, kita cari nilai y dari persamaan pertama, dengan mengurangi x dan z dari kedua ruas:
y = 5 - x - z
Kemudian, kita substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan kedua dan ketiga, sehingga kita hanya memiliki dua variabel:
2x - (5 - x - z) - z = -3
3x + (5 - x - z) - z = 1
Simplifikasi persamaan tersebut:
3x - 2z = 2
2x - 2z = -8
Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan metode eliminasi, yaitu dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan kemudian menguranginya dari persamaan kedua:
4x - 4z = -16
-3x + 2z = 2
x = -2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan di atas untuk mencari nilai z:
3(-2) - 2z = 2
-6 - 2z = 2
-2z = 8
z = -4
Akhirnya, substitusikan nilai x dan z ke dalam persamaan y = 5 - x - z untuk mencari nilai y:
y = 5 - (-2) - (-4) = 7
Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = -2, y = 7, dan z = -4.
Soal 24:
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 3 dan beda 4. Jika jumlah suku deret tersebut adalah 20, maka suku keberapa dari deret tersebut memiliki nilai 75?
Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan rumus untuk suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1)d
dimana an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, d adalah beda, dan n adalah indeks suku.
Dalam masalah ini, a1 = 3 dan d = 4, sehingga kita dapat menuliskan rumus umum untuk suku ke-n:
an = 3 + (n-1)4
an = 4n - 1
Kita juga diberi informasi bahwa jumlah suku deret adalah 20, sehingga kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah n suku pertama dari deret aritmatika:
Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)
Kita ingin mencari suku keberapa dari deret yang memiliki nilai 75. Dengan menggunakan rumus an yang telah ditemukan, kita dapat menyelesaikan persamaan berikut untuk mencari nilai n:
75 = 4n - 1
76 = 4n
n = 19
Jadi, suku ke-19 dari deret tersebut memiliki nilai 75.
Soal 25. Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan beda 6. Tentukan jumlah dari seluruh suku ganjil dari deret tersebut hingga suku ke-20.
Pembahasan:
Pertama-tama, kita bisa mencari suku ke-n dari deret aritmatika dengan rumus:
an = a1 + (n - 1)d
Dalam kasus ini, a1 = 10 dan d = 6, sehingga:
an = 10 + (n - 1)6
an = 6n + 4
Selanjutnya, kita ingin mencari jumlah seluruh suku ganjil dari deret tersebut. Kita dapat mengekspresikan suku ganjil dengan rumus:
an = a1 + (n - 1)d, dengan n ganjil
Karena n harus ganjil, kita bisa menulisnya sebagai 2m + 1, dengan m bilangan bulat. Maka, suku ke-n dapat ditulis sebagai:
an = 10 + (2m + 1 - 1)6
an = 12m + 10
Kita ingin mencari jumlah seluruh suku ganjil hingga suku ke-20, yang berarti kita perlu menjumlahkan suku-suku ganjil dari suku pertama hingga suku ke-20:
S = a1 + a3 + ... + a19
Dalam hal ini, a1 = 10, dan kita perlu mencari nilai a3, a5, ..., a19. Kita dapat menuliskan suku-suku tersebut dalam bentuk 12m + 10 dengan mengganti n dengan 2m + 1:
a3 = 12(1) + 10 = 22
a5 = 12(2) + 10 = 34
a7 = 12(3) + 10 = 46
a9 = 12(4) + 10 = 58
a11 = 12(5) + 10 = 70
a13 = 12(6) + 10 = 82
a15 = 12(7) + 10 = 94
a17 = 12(8) + 10 = 106
a19 = 12(9) + 10 = 118
Kemudian, kita dapat menjumlahkan suku-suku tersebut:
S = 10 + 22 + 34 + 46 + 58 + 70 + 82 + 94 + 106 + 118
S = 620
Jadi, jumlah seluruh suku ganjil dari deret tersebut hingga suku ke-20 adalah 620.
Soal 26. Digit 1,9,9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1+9+9=8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai digit 27 terjadi di antara tahun ...
Jawaban:
Misal bilangan selanjutnya adalah ABCD, maka A = 2 karena 1+9+9+9 tidak sama dengan 27.
B+C+D = 25
Karena diinginkan B sekecil-kecilnya, maka (C+D) harus sebesar-besarnya dan karena B lebih kecil sama dengan 9, C lebih kecil smaa dengan 9 dan D lebih kecil sama dengan 9 maka (C+D) maks = 18 sehingga B minimal = 25 - 18 = 7.
Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 adalah 2799.
Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 terjadi di antara tahun 2701 dan 2900.
Demikianlah 26 contoh soal Olimpiade Matematika SMA dengan jawaban dan pembahasannya lengkap, untuk OSN tingkat nasional. Mudah-mudahan bermanfaat.***
Disclaimer:
-Artikel ini dapat digunakan sebagai referensi belajar bagi siswa SMA.
-Kebenaran kunci jawaban ini bersifat tidak mutlak tetapi sifatnya terbuka sehingga bisa dieksplorasi lagi lebih lanjut.
Dapatkan informasi terbaru terkait dunia pendidikan dengan bergabung di grup telegram kami. Mari bergabung di Grup Telegram dengan cara klik tombol dibawah ini:
Kamu juga bisa request kunci jawaban atau info lainnya dengan topik pendidikan.